모델 설명 — 이론, 의의, 그리고 수식.
금융을 처음 접하는 분도 따라올 수 있도록 각 모델의 배경과 원리를 풀어 쓰고, 섹션마다 그 이론이 DIVA Quantizer 에서 어떻게 구현돼 있는지와 활용법을 이어서 정리했습니다.
Markowitz 평균-분산 최적화
여러 종목을 가지고 있을 때, 어떤 종목을 얼마나 섞어야 포트폴리오의 위험과 수익을 함께 관리할 수 있을까?
Markowitz 는 이 질문에 수익률뿐 아니라 종목 사이의 관계까지 고려해야 한다고 답했습니다. DIVA 는 이 이론을 실제 시장 데이터에 적용해, 내 포트폴리오의 구조를 직접 확인할 수 있도록 보여 줍니다.
하나의 종목이 아니라, 포트폴리오 전체를 본다.
분산투자의 핵심은 종목 수가 아닙니다. 서로 다르게 움직이는 자산을 섞으면 포트폴리오 전체의 위험을 낮출 수 있습니다.
포트폴리오의 위험은 개별 종목의 위험을 단순히 더한 값이 아니라 종목 사이의 관계, 즉 공분산까지 반영합니다.
DIVA 에서는 내 포트폴리오의 분산 효과를 숫자로 확인합니다.
위 식에서 종목 사이의 관계 덕분에 줄어든 위험을, DIVA 는 분산 효과라는 하나의 숫자로 보여 줍니다. 종목 변동성을 비중대로 평균한 값보다 실제 포트폴리오 변동성이 몇 % 낮은지를 뜻합니다.
이 값은 결과 페이지 첫 화면의 포트폴리오 성향(아키타입)을 정하는 기준 중 하나입니다.
바로 아래 핵심 지표에서는 그렇게 묶인 포트폴리오의 연간 변동성이 시장과 비교해 어느 수준인지 확인할 수 있습니다.
평화주의 산책꾼The Easygoing Stroller.
자산을 넓게 흩뿌려 마음의 평화를 이루고, 천천히 목적지로 향합니다.
예시 포트폴리오(AAPL 25% · MSFT 20% · SPY 25% · TLT 30%)는 종목 변동성의 가중평균이 19.25%지만, 함께 담으면 실제 변동성은 15.43%로 낮아집니다. 이 차이가 분산 효과 19.9%이고, 아키타입 ‘평화주의 산책꾼’ 판정의 근거 중 하나가 됩니다.
아키타입은 위험(시장 대비)·효율·분산의 세 기준으로 8가지 중 하나가 정해지며, 분산 효과가 15% 이상이면 ‘분산’ 쪽으로 분류됩니다.
효율적 프론티어
가능한 모든 비중 조합을 생각해 보면, 각각의 조합은 서로 다른 기대수익률(μ)과 위험(σ)을 가집니다. 이 조합들을 그래프로 나타내면 곡선이 만들어집니다.
그중 같은 위험에서 더 높은 수익을 제공하거나, 같은 수익에서 더 낮은 위험을 제공하는 조합을 연결한 선이 효율적 프론티어(Efficient Frontier)입니다.
가장 왼쪽의 점은 최소분산 포트폴리오(MVP)로, 가능한 조합 중 변동성이 가장 낮은 포트폴리오입니다.
DIVA 는 현재 포트폴리오를 그 곡선과 비교합니다.
DIVA 는 내 보유 종목만으로 만들 수 있는 조합으로 이 곡선을 그리고, 그 위에 내 포트폴리오와 각 종목의 위치를 함께 표시합니다.
그래서 내 포트폴리오가 이 곡선에서 얼마나 떨어져 있는지 바로 보입니다.
즉, “지금 내 비중이 얼마나 효율적인가?”를 시각적으로 확인할 수 있습니다.
곡선에서 멀리 떨어져 있을수록, 같은 위험에서 더 높은 수익을 낼 수 있는 다른 비중 조합이 존재한다는 뜻입니다.
예시 포트폴리오는 같은 위험의 곡선보다 약 5.83%p 아래에 있습니다. 곡선과 0.05%p 이내로 붙으면 점이 초록색으로 표시됩니다.
최소 위험과 최대 효율은 같은 말이 아닙니다.
MVP 는 단순히 가장 덜 흔들리는 포트폴리오입니다. 하지만 위험이 낮다고 해서 기대수익까지 높은 것은 아닙니다.
무위험수익률 Rf 을 기준으로 보면, 효율적 프론티어에 접하는 포트폴리오가 Tangency Portfolio, 즉 최대 샤프 비율 포트폴리오입니다.
샤프 비율은 감수한 위험에 비해 얼마나 많은 초과수익을 얻었는지를 보여 줍니다.
DIVA 에서는 ‘정답 비중’보다 현재 포트폴리오의 위치를 봅니다.
DIVA 는 최대 샤프 포트폴리오를 추천 비중으로 제시하지 않고, 현재 포트폴리오가 효율적 프론티어와 얼마나 가까운지를 판단하는 기준으로 활용합니다.
또한 연간 기대수익률 · 변동성 · 샤프 · 분산 효과를 함께 보여 주기 때문에 하나의 숫자만 보고 판단하지 않도록 구성했습니다.
이퀄라이저에서는 비중을 직접 움직여 보면서 이 지표들이 어떻게 변하는지도 확인할 수 있습니다.
MVP 는 곡선의 왼쪽 끝이지만, Rf 에서 그은 직선이 곡선에 닿는 접점이 위험 한 단위당 초과수익이 가장 큰 지점입니다. 예시 포트폴리오는 두 점 모두와 떨어져 곡선 아래에 있습니다.
접점은 과거 곡선 그대로 구한 값(샤프 0.88)입니다. DIVA 의 효율 판정에는 추정 오차를 보정한 곡선(최대 샤프 0.69)을 씁니다.
이론의 식을 실제 데이터로 옮기기
Markowitz 의 문제는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
즉, 목표 수익률을 정해 놓고 그 수익률을 달성하는 가장 낮은 위험의 비중을 찾습니다.
DIVA 에서 이 식의 각 항은 이렇게 정해집니다.
- μ · Σ
- 최근 6년 중 보유 종목이 모두 거래된 공통 구간의 월간 수익률로 추정합니다 (최소 12개월).
- wi ≥ 0
- 공매도 없음 — 종목마다 0~100%, 합계 100%.
- R*
- 최소분산 수익률부터 가장 높은 종목 수익률까지 40개를 정해 각각 위 식을 풀고, 그 점들을 이어 효율적 프론티어를 그립니다.
- Rf
- 13주 미국 국채 금리(^IRX) 현재값 — 사이트 공통 (예시 3.99%).
- 표시
- 월간 값을 연 단위로 환산합니다 — 수익률 ×12, 변동성 ×√12.
Markowitz 가 유용한 순간
- 01현재 비중이 효율적인지 확인
효율적 프론티어와의 거리로 현재 포트폴리오의 위치를 확인할 수 있습니다.
- 02새 종목을 추가하기 전 분산효과 확인
분산 효과와 전체 포트폴리오 위험의 변화를 비교할 수 있습니다.
- 03포트폴리오 위험이 어디에 집중되어 있는지 확인
위험 기여도에서 종목마다 전체 위험의 몇 %를 차지하는지 볼 수 있습니다.
- 04비중을 바꾸었을 때 결과가 어떻게 달라지는지 확인
이퀄라이저에서 비중을 움직이며 수익률·변동성·샤프·분산 효과가 어떻게 변하는지 바로 확인할 수 있습니다.
내 수익을 시장과 견줘 시장 베타와 알파로 나눠 보고 싶다면 CAPM을 이어서 보세요. 종목 수가 많거나, 개별 자산의 기대수익률 추정보다 위험 구조 자체를 보고 싶다면 HRP 를 함께 비교해 보세요. 수익의 원인을 팩터별로 확인하고 싶다면 Fama–French 모델이 더 적합할 수 있습니다.
해석상의 주의점
Markowitz 는 과거 데이터에서 계산한 평균수익률과 공분산이 미래에도 어느 정도 유지된다는 가정에 의존합니다. 특히 종목 수가 많아질수록 공분산 추정이 불안정해질 수 있습니다. 따라서 최적화 결과를 미래의 정답 비중으로 해석해서는 안 됩니다.
DIVA 는 최대 샤프 포트폴리오를 추천 비중으로 제시하지 않습니다.
대신 현재 포트폴리오와 효율적 프론티어의 관계를 보여 주고, 결과의 신뢰도와 위험 집중 정도를 함께 확인할 수 있도록 했습니다.
결과가 불안정해 보인다면 같은 포트폴리오를 HRP 로도 분석해 서로 다른 방식의 결과를 비교할 수 있습니다.
참고 자료
- Wikipedia — Modern Portfolio Theory · 효율적 프론티어·MVP·Tangency 의 일반 개관 (영어)
- Investopedia — Efficient Frontier · 비전공자 친화적 해설
- Nobel Prize — Harry Markowitz (1990) · 노벨 경제학상 수상 사유
- H. Markowitz, “Portfolio Selection,” Journal of Finance, 1952.
이론을 이해했다면, 내 포트폴리오에 적용해 보세요.
종목과 보유 금액을 입력하면 Markowitz 분석 결과를 실제 숫자로 확인할 수 있습니다.