모델 설명 — 이론, 의의, 그리고 수식.
금융을 처음 접하는 분도 따라올 수 있도록 각 모델의 배경과 원리를 풀어 쓰고, 섹션마다 그 이론이 DIVA Quantizer 에서 어떻게 구현돼 있는지와 활용법을 이어서 정리했습니다.
계층적 위험 분산 (HRP)
Markowitz 로 비중을 최적화하면, 왜 어떤 종목은 99%, 어떤 종목은 0%처럼 극단적인 비중이 나올까?
López de Prado 는 그 원인을 공분산 행렬의 역행렬에서 찾고, 역행렬 없이 비슷하게 움직이는 자산끼리 먼저 묶은 뒤 위험을 나누는 방법을 제안했습니다. DIVA 는 원논문과 같은 계산 순서로 내 보유 종목의 HRP 비중을 구하고, 현재 비중과 위험이 어떻게 달라지는지 나란히 보여 줍니다.
역행렬 없이, 비슷한 것끼리 먼저 묶는다.
Markowitz 최적화를 실제로 돌려 보면, 종목이 많아질수록 극단적인 비중이 나오거나 입력 데이터가 조금만 바뀌어도 결과가 크게 달라지곤 합니다.
원인은 최적 비중을 구하는 식 안의 공분산 행렬의 역행렬(Σ−1)입니다. 데이터 길이에 비해 종목이 많아지면 이 역행렬이 수치적으로 불안정해지고, 그 불안정이 비중에 그대로 나타납니다.
HRP 는 역행렬을 쓰지 않습니다. 비슷하게 움직이는 자산끼리 먼저 묶고, 그 묶음 사이에서 위험을 나눕니다.
DIVA 에서 비중 제안은 HRP 가 맡습니다.
Markowitz 결과가 최대 샤프 비중을 추천하지 않는 것도 이 불안정성 때문입니다. 대신 HRP 결과에서 역행렬 없이 계산한 권장 비중을 제시합니다.
결과 페이지 첫 화면의 핵심 지표는 변동성·기대수익률을 현재 비중과 ‘HRP 적용 시’로 나란히 보여 주고, HRP 비중 조정 규모(전체 투자금 중 옮길 비중)와 최대 종목 위험 기여율(위험을 가장 많이 짊어진 종목의 몫)을 함께 보여 줍니다.
포트폴리오 성향은 현재 보유 종목의 동조성, 종목별 위험 기여도의 편중, 현재 비중의 분산 효과로 정해집니다. HRP 가 제안한 포트폴리오의 성격을 판정하는 값은 아닙니다.
노련한 오케스트라The Seasoned Orchestra.
각각의 자산이 하모니를 이루며 시너지를 내는 이상적인 구조입니다.
예시 포트폴리오(AAPL · MSFT · SPY · GLD)를 HRP 비중으로 바꾸면 투자금의 15.3%가 옮겨 가고, 변동성은 14.46% → 13.21%로 바뀝니다. 성향 ‘노련한 오케스트라’는 HRP 비중이 아니라 지금 비중의 위험 구조를 판정한 결과입니다. 이 페이지는 다른 모델 설명의 예시에서 TLT 를 GLD 로 바꾼 포트폴리오를 씁니다. 포트폴리오에 따라 HRP 가 변동성이나 샤프를 개선하지 못할 수도 있습니다.
동조성은 현재 비중으로 가중한 종목 간 평균 상관(0.60 기준), 위험 편중은 최대 위험 기여도가 동일 기여의 몇 배인지(1.5배 기준), 분산 효과는 현재 비중 기준(15% 기준)으로 나눠 8가지 중 하나가 정해집니다. 이 경계는 DIVA 의 설명용 기준입니다. (예시: 평균 상관 0.32 · AAPL 34.6% = 동일 기여의 1.38배 · 분산 효과 28.8%)
상관을 거리로 바꾸고, 가까운 것부터 묶는다.
먼저 모든 종목 쌍의 상관계수 ρ 를 거리로 바꿉니다. 함께 움직일수록(ρ → 1) 거리가 0 에 가깝고, 반대로 움직일수록 멀어집니다.
원논문은 여기서 한 번 더 나아갑니다. 각 종목이 다른 모든 종목과 얼마나 떨어져 있는지를 한 줄(열)로 늘어놓고, 그 줄끼리의 거리를 다시 잽니다. 두 종목 사이만이 아니라 전체 종목과의 관계가 닮았는지를 보는 셈입니다.
이 거리 d̃ 가 가장 가까운 두 자산부터 차례로 묶어 올라가면 덴드로그램이 만들어집니다. 묶음끼리의 거리는 두 묶음에서 가장 가까운 종목 쌍으로 잽니다(single linkage).
트리의 잎 순서대로 종목을 다시 늘어놓으면 비슷한 자산끼리 이웃하게 됩니다(준대각화). 다음 단계는 이 순서를 그대로 씁니다.
DIVA 는 내 보유 종목의 트리를 ‘상관 구조 트리’ 탭에 그립니다.
가장 먼저 묶이는 종목들은 사실상 같은 방향에 베팅한 것입니다. 비슷한 종목을 겹쳐 담고 있지 않은지 점검해 보세요.
종목 아래 원의 크기는 위험 기여도입니다. 원이 클수록 그 종목이 내 포트폴리오의 위험을 많이 짊어지고 있다는 뜻입니다.
‘HRP 균형 포트폴리오’로 바꿔 보면, HRP 비중에서 위험이 어떻게 다시 나뉘는지 비교할 수 있습니다.
원 면적은 위험 기여도를 의미합니다. 점선과 음수는 위험 상쇄를 뜻합니다.
상관이 가장 높은 AAPL–SPY(0.67)가 먼저 묶이고, MSFT, GLD 순으로 합류합니다. AAPL 이 같은 빅테크인 MSFT 보다 SPY 와 먼저 묶인 것은, SPY 안에서 AAPL 비중이 크다는 점과 들어맞습니다. 원 크기로 보면 위험을 가장 많이 지는 종목이 지금은 AAPL 34.6%, HRP 비중에서는 SPY 30.1%로, 위험이 한 종목에 덜 몰립니다.
병합 높이(d̃) AAPL–SPY 0.58 · MSFT 0.61 · GLD 1.01 — 낮은 곳에서 합쳐질수록 닮은 정도가 큽니다. 가로 간격은 비선형 강조입니다. 정확한 d값은 세로 높이와 숫자로 읽습니다. 트리의 잎 순서(정렬 결과)는 GLD · MSFT · AAPL · SPY.
위험을 줄인 비중이 수익까지 지켜 주지는 않는다.
정렬된 목록을 둘로 나누고, 각 절반의 클러스터 분산을 비교해 분산이 작은 쪽에 더 큰 비중을 줍니다. 각 절반을 다시 둘로 나누며 같은 일을 반복하면, 마지막에 모든 종목의 비중이 정해집니다(재귀적 이분법). 이때 나누는 기준은 트리의 가지가 아니라 정렬된 목록의 가운데라서, 분할이 트리의 가지와 다를 수 있습니다.
매 단계 두 묶음의 분산만 비교하므로 역행렬이 필요 없어 결과가 안정적입니다. 대신 이 과정 어디에도 기대수익은 들어가지 않습니다. HRP 는 위험을 나누는 방법이지, 수익을 높이는 방법이 아닙니다.
DIVA 는 현재 비중과 HRP 비중을 나란히 놓고, 비중이 정해진 과정까지 보여 줍니다.
같은 기간 데이터로 계산한 변동성·기대수익률·샤프·분산 효과를 ‘지표 비교’ 탭에서 현재 / HRP / 변화로 나란히 보여 줘, HRP 가 줄인 위험과 그 대가를 한 번에 확인할 수 있습니다.
‘비중 비교’ 탭은 종목별 현재·권장 비중의 차이를, ‘투자 비중이 정해지는 과정’ 탭은 위 이분법의 단계별 배분을, ‘리밸런스 제안’은 차이가 가장 큰 세 종목을 보여 줍니다.
| 분석 지표 | 현재포트폴리오 | HRP 최적포트폴리오 | 변화 HRP − 현재 |
|---|---|---|---|
| 연간 변동성 (σ) | 14.46% | 13.21% | −1.25%p |
| 연간 기대수익률 | 17.46% | 16.61% | −0.85%p |
| 효율성(샤프 비율) | 0.93 | 0.95 | +0.02 |
| 분산 효과 | 28.8% | 30.6% | +1.8%p |
같은 분석 기간의 과거 수익률을 기준으로 비교합니다. 표본 기간은 미래 성과의 정확도를 뜻하지 않습니다.
HRP 는 GLD 비중을 30.0% → 38.0%로 늘려 변동성을 14.46% → 13.21%로 낮췄습니다. 기대수익은 17.46% → 16.61%로 조금 줄었지만, 위험이 더 크게 줄어 샤프는 0.93 → 0.95로 오히려 높아졌습니다.
1단계 분할 [GLD · MSFT] 55.1% : [AAPL · SPY] 44.9% — 트리에서는 GLD 혼자 마지막에 합류하지만, 목록 가운데에서 자르므로 MSFT가 GLD 쪽에 들어갑니다 · 리밸런스 제안 Top 3: AAPL −12.4pp · GLD +8.0pp · SPY +7.3pp
이론의 식을 실제 데이터로 옮기기
재귀적 이분법에서 비교하는 클러스터 분산은, 묶음 안의 종목을 각자의 분산에 반비례하게(역분산) 섞었을 때의 분산입니다.
즉 HRP 의 계산은 상관(트리를 만들 때)과 분산(비중을 나눌 때)만으로 이루어집니다.
DIVA 에서 각 단계는 이렇게 정해집니다.
- ρ · Σ
- 최근 6년 중 보유 종목이 모두 거래된 공통 구간의 월간 수익률로 추정합니다 (최소 12개월, 2종목 이상). Markowitz 와 같은 표본입니다.
- dij
- 상관을 거리로 바꾼 뒤, 거리 열 사이의 유클리드 거리 d̃ 로 트리를 만듭니다. 묶는 방식은 single linkage — 원논문과 같습니다.
- wL
- 트리 가지가 아니라 정렬된 목록을 가운데에서 둘로 나눕니다. 원논문 구현과 같은 방식입니다 (예시 1단계: [GLD · MSFT] : [AAPL · SPY]).
- ui
- 각 절반 안에서는 종목을 분산에 반비례하게 섞어(역분산) 그 절반의 분산 V 를 구합니다.
- Rf
- 13주 미국 국채 금리(^IRX) 현재값으로 세 비중의 샤프를 같은 기준으로 계산합니다 — 사이트 공통 (예시 4.04%).
- 보조 지표
- 비중 조정 규모 = ½ Σ|HRP 비중 − 현재 비중| (매도·매수 중복 없이, 비용·세금 제외). 위험 기여율 = wᵢ(Σw)ᵢ / wᵀΣw — 음수(위험 상쇄)나 100% 초과도 그대로 표시합니다. 둘 다 원논문의 점수가 아니라 결과를 이해하기 위한 보조 지표입니다.
- 표시
- 월간 값을 연 단위로 환산합니다 — 수익률 ×12, 변동성 ×√12.
HRP 가 유용한 순간
- 01종목이 많을 때 안정적인 비중 기준 확인
Markowitz 결과가 불안정해 보일 때, 역행렬 없이 계산한 권장 비중을 기준선으로 쓸 수 있습니다.
- 02겹치는 베팅 확인
지수 ETF 와 그 구성 종목처럼 함께 움직이는 종목이 덴드로그램에서 가장 먼저 묶여 드러납니다.
- 03성격이 다른 자산의 비중 기준 확인
주식·채권·금처럼 변동성이 크게 다른 자산을 섞을 때, 위험을 기준으로 나눈 비중을 볼 수 있습니다.
- 04리밸런싱 규모와 출발점 확인
‘HRP 비중 조정 규모’로 옮길 투자금이 얼마인지, ‘리밸런스 제안’으로 가장 크게 다른 세 종목을 확인할 수 있습니다.
- 05위험이 몰린 종목 찾기
상관 구조 트리의 원 크기로 지금 위험을 가장 많이 지는 종목을 바로 볼 수 있습니다.
기대수익까지 함께 따져 효율을 보고 싶다면 Markowitz 와 비교해 보세요. 수익이 시장에서 얼마나 왔는지는 CAPM, 어떤 위험 요인에서 왔는지는 Fama–French 모델이 더 적합합니다.
해석상의 주의점
HRP 는 위험을 잘 나누는 데 초점이 있어 기대수익을 적극적으로 추구하지 않습니다. 그래서 Markowitz 가 이론적으로 줄 수 있는 효율적 프론티어 위의 점에는 도달하지 않습니다. 또 트리가 의미 있으려면 자산 사이의 상관 구조가 기간에 걸쳐 크게 변하지 않아야 합니다. HRP 가 모든 종목의 위험 기여율을 같게 만들거나, 현재 비중보다 변동성을 반드시 낮추는 것은 아닙니다.
DIVA 는 HRP 비중을 정답이 아닌 위험 기준선으로 제시합니다.
같은 포트폴리오를 Markowitz 로도 분석하면, HRP 가 줄인 위험이 효율(샤프) 면에서 어떤 대가를 치렀는지 함께 볼 수 있습니다.
상관 구조는 분석 기간(최근 6년)에서 추정하므로, 공통 데이터가 36개월 미만이면 결과 페이지에 어느 종목이 기간을 줄였는지 경고가 표시됩니다.
HRP 비중은 과거 상관관계와 분산을 바탕으로 계산한 참고값입니다. 기대수익, 거래 비용·세금, 투자자의 목표를 비중 산출에 반영하지 않습니다.
참고 자료
- M. López de Prado, “Building Diversified Portfolios that Outperform Out of Sample,” Journal of Portfolio Management, 2016.
- SSRN — Marcos M. López de Prado · HRP 원논문 preprint 와 후속 연구
- Wikipedia — Hierarchical Clustering · 트리 클러스터링·linkage 방식·덴드로그램 개관 (영어)
- Wikipedia — Risk Parity · 리스크 패리티의 일반 개념 (영어)
이론을 이해했다면, 내 포트폴리오에 적용해 보세요.
종목과 보유 금액을 입력하면 Hierarchical Risk Parity 분석 결과를 실제 숫자로 확인할 수 있습니다.